一个简单而有趣的题目
一个大蛋糕，1刀可以分成2块，2刀可以分成4块，3刀可以分成8块，那么4刀呢？
进一步，切n刀最多可以把蛋糕分成几块？
问题点数：100、回复次数：11Top
1 楼ALNG（?）回复于 2002-08-21 18:24:14 得分 0
如果可以移动2^n.
如果禁止搬移而且限制切面为平面[走S形刀就不好讲了]，4刀至少可以到14。多的就不好讲了。Top
2 楼jianhenk（星橙）回复于 2002-08-21 18:39:58 得分 0
不知道，
不过要是在“灌水员”，
我想能切复数中的任意一个数Top
3 楼dcyu（Dd）回复于 2002-08-21 18:54:45 得分 30
4刀最多是15块。5刀是26块。...
n块是1/6*n*(n^2+5)+1.
本题属于一个差分方程问题，还可以推广到n维空间，应当是n次多项式，本题是3维空间。
证明我晚一些给出。Top
4 楼omrhal（慷慨的蟹）回复于 2002-08-21 19:02:23 得分 0
gzTop
5 楼Wugifer（）回复于 2002-08-21 19:33:09 得分 0
圆月弯刀，想切多少块就是多少块。
如果是直刀，f(0)=1，f(n+1)=f(n)+n+1 -> f(n) = n(n+1)/2 + 1
不严格证明：
切n刀后，第n+1刀每次和一刀痕相交增加一块，和最后一刀痕相交后继续划出可再增加一块，共增加n+1块Top
6 楼jlandzpa（jlandzpa）回复于 2002-08-21 20:21:33 得分 0
中学竞赛题Top
7 楼gwsongdeer（love.cpp）回复于 2002-08-21 21:29:56 得分 70
Wugifer() 给出的是2维空间的情况。
f2(n) = n(n+1)/2 + 1。（用f2表示）
递推公式：f2(0)=1, f2(n+1）= f2(n) + n+1
同意dcyu(Dd) 的 f3(n) = 1/6*n*(n^2+5)+1.
这是3维的情况。（用f3表示）
递推公式：f3(0)=1, f3(n) = f3(n-1)+f2(n)，其中：f2(n）=n(n+1)/2 + 1
不过既然知道就说嘛。
是差分方程，但也没有必要说得这么悬嘛。
下面给出一般情况：（m维）
用m-1维的刀分割m维空间。答案：
fm(0)=1,fm(n+1) = fm(n) + fm-1(n)
解释：
设已切了n刀，第n+1刀将增加的块数（最多）为：
这把刀可以被分成的最多块数。
比如说：
大家都知道：用n点可以把一条线段分成n+1段。
因为增加一个点，就可以多一段。
即：f1(0)=1,f1(n+1) = f1(n) + 1 -> f1(n) = n+1
2维情况：
增加了一条线，这条线会与原来的n条线交于n个点，
这n个点把这条线 分成n+1段，这就可以使平面增加n+1块。
3维情况：
增加了一个面，这个面会与原来的n个面交于n条线，
这n条线最多可以把这个面 分成f2(n)块，这就最多可以使平面增加f2(n)块。
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8 楼gwsongdeer（love.cpp）回复于 2002-08-21 21:36:07 得分 0
忘了说一句：
要解决上述的递归方程，
fm(0)=1,fm(n+1) = fm(n) + fm-1(n)
需要用到差分方程，此处不便。Top
9 楼dcyu（Dd）回复于 2002-08-21 23:37:43 得分 0
来晚了，上街刚回来就被人证出来了。Top
10 楼dcyu（Dd）回复于 2002-08-21 23:41:28 得分 0
看来可以结了，完全同意gwsongdeer(love.cpp)。这是几年前准备高中数学竞赛时做的一道题。Top
11 楼coldcrane（清风明月）回复于 2002-08-22 12:33:04 得分 0
呵呵，其实就是一道求数列通项的问题嘛！Top
