一个好玩的问题，大家都来做做看。
一个猎兔的问题（高分求救，不够再开新贴）
假设在大平原上有一只野兔和一只猎狗,在某一时刻同时发现对方,野兔立即向洞穴跑去,而猎狗也立即向野兔追去,在追击过程中,双方均全力奔跑,即双方速度大小不变,方向可变,问:
(1) 若野兔始终沿直线向洞穴跑去,求猎狗的运动方程和轨迹;
(2) 若野兔始终沿直线向洞穴跑去,试确定猎狗的初始位置范围G,使得猎狗在这一范围内，总可以在兔子进洞前追上它;
(3) 若猎狗已处于问题(2)所述的范围G,则兔子在进洞前肯定会被追上,那么兔子是否可以采取曲线跑向洞穴(速度大小不变)而安全进入洞中?画出两者的运动轨迹;
使用工具：MATLAB
问题点数：100、回复次数：34Top
1 楼saint001（saint001）回复于 2003-12-04 20:48:52 得分 0
第一问要精确解吗
我的matlab正在算，表达式应该很繁Top
2 楼aljj（鬼谷子）回复于 2003-12-05 08:53:09 得分 0
回复人： klbt() ( ) 信誉：100
很有意思的问题，与野兔、猎狗、洞穴的相对位置有关。
如果三者在同一条直线，当然猎狗的轨迹是直线
第一问要精确解，Top
3 楼stephen85（）回复于 2003-12-05 09:03:56 得分 0
先关注一下
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4 楼dailiangren（）回复于 2003-12-05 10:08:06 得分 0
感觉第一问是个很平凡的问题，
第三问是个很有意思的问题，呵呵Top
5 楼Maggioni（）回复于 2003-12-05 10:38:32 得分 0
hhTop
6 楼Maggioni（）回复于 2003-12-05 10:40:29 得分 0
第一个问题的解决方法参考“犬迹线方程”Top
7 楼workhand（我可憨了...）回复于 2003-12-05 12:16:43 得分 0
第三题应该“否”吧Top
8 楼NowCan（城市浪人）回复于 2003-12-05 13:09:39 得分 0
是很有意思。
我觉得这个和导弹跟踪是一回事。
“犬迹线方程”是什么？
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9 楼saint001（saint001）回复于 2003-12-05 13:15:46 得分 0
"犬迹线方程"可以求出表达式吗
微分方程很容易写出来，但求解不容易
matlab也做不出来(符号解)
不过，数值模拟非常容易Top
10 楼zlf_jack（风云剑客）回复于 2003-12-05 17:10:02 得分 0
这是一种数学建模题，一般的书上都有，也就是导弹跟踪问题：
设猎狗在（0，0），行驶速度为b（m/s) 野兔在（d，0） ，行驶速度为a(m/s),方向与x轴成s, t时刻狼在（x(t),y(t) )
根据:
sqrt((dx/dt)^2+(dy/dx)^2)=b
且由于野兔在（d+a*t*cos(s),a*t*sin(s)有:
dy/dx=(a*t*sin(s)-y(t))/(d+a*t*cos(s)-x(t)
两式结合，推出：
dx/dt=b/sqrt(1+(dy/dx)^2)
dy/dt=b/sqrt(1+(dx/dy)^2)
求解这个方程组的确很困难，能否求出也不确定（主要是一个数学高手不在），不过用来近似计算还是可以的
当x(t)>d+a*t*cos(s),t<=l/a,说明无法逃脱
依次调整d和s，便可求出G；
第三问目前还没想法，猜想意义不大，因为狼的速度要快些，时间花的越多越难逃脱！Top
11 楼lyff8neo（对不起，我对你忠诚，因为你是c++）回复于 2003-12-06 01:07:04 得分 0
markTop
12 楼aljj（鬼谷子）回复于 2003-12-06 10:01:26 得分 0
mark....Top
13 楼saint001（saint001）回复于 2003-12-06 13:02:39 得分 50
第一问我建立的模型是
初始位置
野兔:(0,0),猎狗(x0,y0),巢穴(a,0)
野兔速度Va,猎狗速度Vb
则野兔运动方程为(Va*t,0)
猎狗运动方程为
(Vat-x)
dx/dt=-------------------- Vb
sqrt[(Va*t-x)^2+y^2]
-Y
dy/dt=-------------------- Vb
sqrt[(Va*t-x)^2+y^2]
我用matlab的dsolve函数求解这个微分方程组，但是没有结果
如果数值求解，有这几个参数Va,Vb,a,x0,y0Top
14 楼bjay（ben）回复于 2003-12-06 17:12:03 得分 0
我是这样想的，（出题的人可能不是想要这样的结果^_^）
无论兔子怎样跑，它总要回到洞口，
那么猎狗也就只要在最短的时间内跑到洞口，如果这时兔子还没跑进洞，则猎狗就可捉到兔子。否则……
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15 楼canjian（奋斗，探求，不达目的誓不罢休！）回复于 2003-12-06 18:12:23 得分 0
关注Top
16 楼zzwu（未名）回复于 2003-12-06 18:46:07 得分 0
第一个轨迹为“曳物线”。由于猎狗追赶野兔时速度不变，所以，无论猎狗的追赶方向如何改变，二者的距离始终不变。这相当于有个小孩用绳子在马路上牵引着一个东西，而自己在人行道上向前跑时，那个被牵引东西所走过的轨迹一样，故名“曳物线”。“曳物线”的方程推导在详细一点的分析书中有介绍的。
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17 楼zzwu（未名）回复于 2003-12-06 18:48:32 得分 0
方程找到了，参数方程是:
x = 1/cosh(t)
y = t - tanh(t)
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18 楼zzwu（未名）回复于 2003-12-06 18:53:35 得分 0
抱歉，看错了，以为是双方速度一样不变，方向可变。Top
19 楼saint001（saint001）回复于 2003-12-06 18:57:08 得分 0
to zzwu:
但是猎狗的速度在一般情况下不等于兔子的速度
大于兔子的速度问题才有意义
否则兔子就不用朝着洞穴跑
背着猎狗反方向跑，猎狗怎么追也追不上Top
20 楼zzwu（未名）回复于 2003-12-07 11:53:43 得分 0
我看错了第一题。当我看第2个问题时发现我的回复错了。Top
21 楼aljj（鬼谷子）回复于 2003-12-07 18:50:37 得分 0
到现在还没人能做出来吗？帮忙呀。Top
22 楼Amely（下班网www.xbup.com）回复于 2003-12-07 18:58:47 得分 0
markTop
23 楼aljj（鬼谷子）回复于 2003-12-07 20:17:28 得分 0
mark...Top
24 楼saint001（saint001）回复于 2003-12-07 20:47:06 得分 0
没时间仔细做Top
25 楼iicup（双杯献酒）回复于 2003-12-08 09:52:00 得分 0
3.不考虑惯性（方向改变的快慢能力），不可以
考虑惯性，则可以Top
26 楼aljj（鬼谷子）回复于 2003-12-08 13:38:33 得分 0
那谁能给出来个详细的答案吗？Top
27 楼aljj（鬼谷子）回复于 2003-12-09 18:04:17 得分 0
不是吧，就这样没戏了/Top
28 楼liuhuimingming91（lam）回复于 2003-12-10 19:33:40 得分 0
如果狼狗的速度不变 轨迹应该是一条直线Top
29 楼chenjun716（吾空）回复于 2003-12-10 19:46:13 得分 0
有意思！值得关注！Top
30 楼mathe（）回复于 2003-12-11 10:15:25 得分 0
第三问，答案是可以，考虑一个极端的情况，狼狗的速度为0，但是他正好在兔子和窝的连线上，如果兔子直线回去，就被逮了，稍微绕一下就过去了；）
在兔子速度比狼狗快时，都应该有这个结果。
还没有考虑狼狗比兔子快的情况，比较复杂。Top
31 楼amdcwf（谈，我爱你）回复于 2003-12-11 18:28:22 得分 0
同意：saint001(saint001)的列微分方程的解法
这个方程，是有解的，因为我在大一时就做过这道题了
过程中，有用好几种积分公式来求的
包括分部积分，三角代换，还有一个是什么忘了
不过，积分公式现在都基本上忘光了
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32 楼sunxinguo518（新磊）回复于 2003-12-11 19:15:54 得分 0
依据“双方速度大小不变,方向可变”我没有细算！！
但是，我认为，猎狗的运动方程应该是一个抛物线方程，自然轨迹应该是抛物线！！
第二问，要设他们的速度！！很麻烦！！
关注中！！！！Top
33 楼zzwu（未名）回复于 2003-12-11 21:17:00 得分 50
我好像在某本书上看到过第一题的，但时间很长了！Top
34 楼lyr311（老刘:别总在CSDN上逛！！！）回复于 2003-12-17 21:56:51 得分 0
数学软件Mathematica,Matlab的书上都有这个问题，一般是通过数值模拟实现的。Top
