一个数学题（有关最大值），如何证明？
一个数学题（有关最大值），如何证明？
f=（1－p^n1）(1－p^n2)(1－p^n3)...(1－p^nr)
n1+n2+...nr=N.
应该是n1=n2=...=nr时f最大吧，如何证明。
问题点数：100、回复次数：25Top
1 楼mathe（）回复于 2005-01-02 22:02:06 得分 45
使用拉格朗日定理
计算d(log(f)-L(n1+n2+...+nr))/dnk =0
得到
p^nk /(1-p^nk) 对所有的k相同
由于x/(1-x)是单射，
所以f在p^n1=p^n2=...=p^nk时才取极值Top
2 楼bruceYing（bruce）回复于 2005-01-03 21:59:53 得分 0
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3 楼baryjim（吃饭－睡觉－打豆豆）回复于 2005-01-03 22:14:46 得分 0
单射是什么意思啊？Top
4 楼jp1984（mathfrog）回复于 2005-01-03 23:15:41 得分 5
一对一的映射。
mathe的第一步是什么意思 ？？？ 多元函数里面有拉格朗日定理吗 ？？能不能写详细点
f 是 n1,n2,...nr的函数。而且题目不明确 ,p应该是 有个约束条件吧？
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5 楼mathe（）回复于 2005-01-04 08:29:49 得分 0
f的极值，也就是log(f)的极值。
带有约束条件 n1+n2+...nr=N，拉格朗日定理是说可以采用对
log(f)-L(n1+n2+...+nr - N)求极值，
然后分别要求上面的式子对n1,n2,...,nr求偏导数，要求所有的偏导数都是0,
而且n1+...+nr=N,通过这个方法可以得到L,n1,...,nr.Top
6 楼wlpwind（robin）回复于 2005-01-04 09:07:33 得分 0
0<p<1.Top
7 楼mathe（）回复于 2005-01-04 10:55:39 得分 0
还有一个办法是：
Let f(x)=log(1-p^x)
所以我们可以得到
f''(x)=-p^x log^2(p)/(1-p^x)^2 <0
所以f(x)是凹函数
f(n1)+f(n2)+...+f(nr)<=r*f((n1+n2+...+nr)/r)=r*f(N/r)
两边同时再取指数就可以了。
（这里log是以e为底）
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8 楼mxfeng（老子说:善战者不怒）回复于 2005-01-04 11:09:18 得分 0
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9 楼baryjim（吃饭－睡觉－打豆豆）回复于 2005-01-04 11:18:06 得分 0
慨叹mathe的数学功底，考研的时候我还记得怎么做，现在全就饭了^_^Top
10 楼jp1984（mathfrog）回复于 2005-01-04 12:39:13 得分 5
凹函数有这个性质吗？
f(n1)+f(n2)+...+f(nr)<=r*f((n1+n2+...+nr)/r) （*）
大一高数时好象只讲过这个
(f(n1)+f(n2))/2 <= f((n1+n2)/2)
这样的话，( f(n2) + f(n3) )/2 <= f((n1+n2)/2)
好象也推不出 （*）式Top
11 楼mathe（）回复于 2005-01-04 13:28:05 得分 0
用数学归纳法可以容易证明对
r=2^k，命题成立。
然后
对于普通的r,取s,使得2^s > r
取n(r+1),n(r+2),...,n(s)都等于(n1+n2+...+nr)/r带入
2^s情况就可以得到结论了。Top
12 楼autoegg（哲学指引生活 && (动心忍性，增益其所不能)）回复于 2005-01-05 14:46:08 得分 0
大学白上了，我全忘光了。sigh。。。Top
13 楼ccczqh（jingoo）回复于 2005-01-05 20:49:47 得分 10
（1－p^n1）(1－p^n2)(1－p^n3)...(1－p^nr)<=[（1－p^n1）+(1－p^n2)+(1－p^n3)...+(1－p^nr)]^1/2/n 当且仅当（1－p^n1）=(1－p^n2)=(1－p^n3)=...(1－p^nr)时能取得最大可以证明.估计的用数学归纳法.只是猜想!也就是用初中学习的重要不等试(a+b)/2>=(ab)^1/2 楼主看看这个方法应该是可以的!Top
14 楼mathe（）回复于 2005-01-06 09:03:58 得分 0
To ccczqh, 有道理，可以两次使用平均不等式
即
x1x2...*xn<=[(x1+x2+...+xn)/n]^n
证明这个不等式可以用类似上面的方法，先证明n是2的幂时候成立。
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15 楼ccczqh（jingoo）回复于 2005-01-07 10:44:42 得分 0
to mathe() 我新来的.第一次在算法版发帖子.多多关照~~数学水平一般.Top
16 楼wlpwind（robin）回复于 2005-01-07 11:29:43 得分 0
现在大学的数学书都找不到了，mathe能不能写一个完整的证明过程？我写东西要用，谢谢。Top
17 楼wlpwind（robin）回复于 2005-01-07 11:37:49 得分 0
用下面这种方法吧。
-------------------
还有一个办法是：
Let f(x)=log(1-p^x)
所以我们可以得到
f''(x)=-p^x log^2(p)/(1-p^x)^2 <0
所以f(x)是凹函数
-----------------------------------------〉下面这一步虽然也算直观，有没有有名称的定理说明一下？
f(n1)+f(n2)+...+f(nr)<=r*f((n1+n2+...+nr)/r)=r*f(N/r)
两边同时再取指数就可以了。
（这里log是以e为底）Top
18 楼wlpwind（robin）回复于 2005-01-07 11:54:32 得分 0
有没有问题阿？
f''(x ) <0 说明f'(x)是递减的，这是凹函数么？感觉是凸函数阿，最起码图形应该是凸的。
对不对？计算的问题么？Top
19 楼mathe（）回复于 2005-01-07 12:22:00 得分 0
是我把凸函数和凹函数的名字弄错了。
后面的定理可以从凸函数的定义：
(f(x)+f(y))/2<=f((x+y)/2)
得来。Top
20 楼wlpwind（robin）回复于 2005-01-11 22:56:26 得分 0
这个方法好像只能说明最大值是那么多，不能说明只有 ..=..=..时才取最大值。
Let f(x)=log(1-p^x)
所以我们可以得到
f''(x)=-p^x log^2(p)/(1-p^x)^2 <0
所以f(x)是凸函数
f(n1)+f(n2)+...+f(nr)<=r*f((n1+n2+...+nr)/r)=r*f(N/r)
两边同时再取指数就可以了。
（这里log是以e为底）
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21 楼wlpwind（robin）回复于 2005-01-11 22:58:25 得分 0
拉格朗日应该是可以的。
有没有人帮我写一下完整的证明过程？
我的文章还有很多地方要考虑，没时间整这个东西阿。Top
22 楼wlpwind（robin）回复于 2005-01-12 14:53:54 得分 0
<-Top
23 楼wlpwind（robin）回复于 2005-01-12 14:54:58 得分 0
<Top
24 楼zzwu（未名）回复于 2005-01-13 09:35:15 得分 10
这个题目是平面问题“边长相等时，正方形的面积最大”到n维的推广。
三维时就是“边长相等时，正方体的体积最大”。
我想可以用归纳法证明。Top
25 楼whycadi（保护视力）回复于 2005-01-13 21:55:37 得分 25
用数学归纳法证明。
为表示清楚把字母变一下
求f=（1－p^a1）(1－p^a2)(1－p^a3)...(1－p^an)的最大值等价于求
F(A,N)=ln(f)=ln(1-p^a1)+ln(1-p^a2)+……+ln(1-p^an)的最大值。
a1+a2+a3+……+an=A
先求n=2的时候，可得a1=a2=A/2时，F最大，那么假设n=N时，ai=An / N时F(An,N)最大，那么
n=N+1时，F(A,N+1)=ln(1-p^a1)+F(A-a1,N)=ln(1-p^a1)+N*ln(1-p^((A-a1)/N)),求解
d(F)/d(a1)=0，可得a1=(A-a1)/N,即a1=a2=……=aN+1。
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