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a b c d
a2 b2 c2 d2
a4 b4 c4 d4
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
我觉得应该是用范德蒙行列式，但不知道如何去证，请高人指点。
注：a2,b2等表达式是a的平方...
a b c d
a2 b2 c2 d2
a4 b4 c4 d4
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
我觉得应该是用范德蒙行列式，但不知道如何去证，请高人指点。
注：a2,b2等表达式是a的平方...
...全文
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northwolves 2005-12-08
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(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)=1/3(a2-b2)(a2-c2)(a2-d2)(b2-c2)(b2-d2)(c2-d2)利用行列式性质往后者凑,感觉不是很难,只是书写不方便,楼主可以参考:
http://bbs.jlusoft.net/diannaoketang/xinshiji/xxds/hangleishi/01.htm
http://bbs.jlusoft.net/diannaoketang/xinshiji/xxds/hangleishi/021.htm
http://bbs.jlusoft.net/diannaoketang/xinshiji/xxds/hangleishi/022.htm
http://bbs.jlusoft.net/diannaoketang/xinshiji/xxds/hangleishi/023.htm
http://bbs.jlusoft.net/diannaoketang/xinshiji/xxds/hangleishi/03.htm
http://bbs.jlusoft.net/diannaoketang/xinshiji/xxds/hangleishi/01.htm
http://bbs.jlusoft.net/diannaoketang/xinshiji/xxds/hangleishi/021.htm
http://bbs.jlusoft.net/diannaoketang/xinshiji/xxds/hangleishi/022.htm
http://bbs.jlusoft.net/diannaoketang/xinshiji/xxds/hangleishi/023.htm
http://bbs.jlusoft.net/diannaoketang/xinshiji/xxds/hangleishi/03.htm
cozil 2005-12-08
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太好了，非常感谢！
northwolves 2005-12-08
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无法排版:
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| a b c d |
| a2 b2 c2 d2 |
| a4 b4 c4 d4 |
第4行减第3行乘a2， 第3行减第2行乘a，第2行减第1行乘a
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= | 0 b-a c-a d-a |
| 0 b(b-a) c(c-a) d(d-a) |
| 0 b2(b2-a2) c2(c2-a2) d2(d2-a2) |
| b-a c-a d-a |
= | b(b-a) c(c-a) d(d-a) |
| bb(b2-a2) c2(c2-a2) d2(d2-a2) |
| 1 1 1 |
= (b-a)(c-a)(d-a) | b c d |
| b2(b+a) c2(c+a) d2(d+a) |
第3行减第2行乘b(b+a)， 第2行减第1行乘b
| 1 1 1 |
= (b-a)(c-a)(d-a) | 0 c-b d-b |
| 0 c2(c+a)-bc(b+a) d2(d+a)-db(d+a) |
= (b-a)(c-a)(d-a) | c-b d-b |
| c(c2-b2)+ac(c-b) d(d2-b2)+da(d-b) |
| 1 1 |
= (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)*| |
| c(c+b)+ac d(d+b)+da |
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[d(d+b)+da-ac-c(c+b)]
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[(d2-c2) +d(b+a)-c(b+a)]
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(d+c+b+a)
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
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第4行减第3行乘a2， 第3行减第2行乘a，第2行减第1行乘a
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= | 0 b-a c-a d-a |
| 0 b(b-a) c(c-a) d(d-a) |
| 0 b2(b2-a2) c2(c2-a2) d2(d2-a2) |
| b-a c-a d-a |
= | b(b-a) c(c-a) d(d-a) |
| bb(b2-a2) c2(c2-a2) d2(d2-a2) |
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= (b-a)(c-a)(d-a) | b c d |
| b2(b+a) c2(c+a) d2(d+a) |
第3行减第2行乘b(b+a)， 第2行减第1行乘b
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= (b-a)(c-a)(d-a) | 0 c-b d-b |
| 0 c2(c+a)-bc(b+a) d2(d+a)-db(d+a) |
= (b-a)(c-a)(d-a) | c-b d-b |
| c(c2-b2)+ac(c-b) d(d2-b2)+da(d-b) |
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= (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)*| |
| c(c+b)+ac d(d+b)+da |
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[d(d+b)+da-ac-c(c+b)]
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[(d2-c2) +d(b+a)-c(b+a)]
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(d+c+b+a)
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
northwolves 2005-12-08
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第4行减第3行乘a2， 第3行减第1行乘a，第2行减第1行乘a
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= | 0 b-a c-a d-a |
| 0 b(b-a) c(c-a) d(d-a) |
| 0 b2(b2-a2) c2(c2-a2) d2(d2-a2) |
| b-a c-a d-a |
= | b(b-a) c(c-a) d(d-a) |
| bb(b2-a2) c2(c2-a2) d2(d2-a2) |
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| b2(b+a) c2(c+a) d2(d+a) |
第3行减第2行乘b(b+a)， 第2行减第1行乘b
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= (b-a)(c-a)(d-a) | 0 c-b d-b |
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= (b-a)(c-a)(d-a) | c-b d-b |
| c(c2-b2)+ac(c-b) d(d2-b2)+da(d-b) |
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| c(c+b)+ac d(d+b)+da |
= (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[d(d+b)+da-ac-c(c+b)]
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[(d2-c2) +d(b+a)-c(b+a)]
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(d+c+b+a)
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
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第4行减第3行乘a2， 第3行减第1行乘a，第2行减第1行乘a
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= | 0 b-a c-a d-a |
| 0 b(b-a) c(c-a) d(d-a) |
| 0 b2(b2-a2) c2(c2-a2) d2(d2-a2) |
| b-a c-a d-a |
= | b(b-a) c(c-a) d(d-a) |
| bb(b2-a2) c2(c2-a2) d2(d2-a2) |
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= (b-a)(c-a)(d-a) | b c d |
| b2(b+a) c2(c+a) d2(d+a) |
第3行减第2行乘b(b+a)， 第2行减第1行乘b
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= (b-a)(c-a)(d-a) | 0 c-b d-b |
| 0 c2(c+a)-bc(b+a) d2(d+a)-db(d+a) |
= (b-a)(c-a)(d-a) | c-b d-b |
| c(c2-b2)+ac(c-b) d(d2-b2)+da(d-b) |
= (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b) | 1 1 |
| c(c+b)+ac d(d+b)+da |
= (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[d(d+b)+da-ac-c(c+b)]
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)[(d2-c2) +d(b+a)-c(b+a)]
=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(d+c+b+a)
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
province_ 2005-12-07
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我连行列式怎么求数值都忘了。身后书橱里有以前读的线性代数，翻了一下，发现你的题目不是很对：4阶范达蒙行列式的数值等于(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a)和你的(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)会相等吗？
其证明要用数学归纳法及行列式的几个性质，
其证明要用数学归纳法及行列式的几个性质，
aiur2000 2005-12-07
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倒，这么难的问题估计没几个人会答吧，
我记得好象是\的乘积加起来减去/的乘积加起来，全部乘完了不就知道了
我记得好象是\的乘积加起来减去/的乘积加起来，全部乘完了不就知道了
