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楼主bandao2002（梅赛德斯）2006-05-01 10:38:26 在其他开发语言 / 汇编语言提问

Kenneth H.Rosen《离散数学及其应用-4版》第49页中的证明如下：

（考虑到浏览器显示问题
将补集，用c代替
将不属于，用“￠”代替）

以下为书上的原文，没有做过任何改动！

证明德摩根第一定律 (A∩B)c = Ac∪Bc（思路为证明两者互为子集，即可得证两者相等）

1、假定x∈(A∩B)c。于是x￠A∩B。这表示x￠A或x￠B（我的疑惑一）。所以x∈Ac或x∈Bc。
于是x∈Ac∪Bc。这表明(A∩B)c 是 Ac∪Bc的子集

2、假定x∈Ac∪Bc。那么x∈Ac或x∈Bc。于是x￠A或x￠B，从而x￠A∩B（我的疑惑二）。这表明
Ac∪Bc 是 (A∩B)c的子集。

两者互为子集，必定相等，等式得证！

初一看，证明非常合理完美。不过我的疑惑如下

根据本书47页中的
定义1 A∪B={x|x∈A∨x∈B}
两集合相并，元素x属于A 或者 x属于B
疑惑二处，证明推理说 x￠A或x￠B，从而x￠A∩B，根据定义1的定义，
这不是前后矛盾吗？应该推出x￠A∪B才对
定义2 A∩B={x|x∈A∧x∈B}
两集合相交，元素x属于A 并且 x属于B
疑惑一处，证明推理说 x￠A∩B。这表示x￠A或x￠B，
根据定义2的定义，这不是前后矛盾吗？应该表示x￠A并且x￠B，从而推出x∈Ac∩Bc才对

为何书上会这样推理？是不是有些深层次问题？

请高手指点～～～
分不够再加！！！
问题点数：50、回复次数：22Top

1 楼redhgg（）回复于 2006-05-01 11:11:21 得分 5

证明推理说 x￠A∩B。这表示x￠A或x￠B，

随便看看就有错误拉
你弄清楚概念吧~~~
中间肯定不是或啊Top

2 楼redhgg（）回复于 2006-05-01 11:11:56 得分 0

要用公式推倒
不要想当然。或者画图Top

3 楼bandao2002（梅赛德斯）回复于 2006-05-01 11:21:08 得分 0

to redhgg:

证明推理说 x￠A∩B。这表示x￠A或x￠B，

随便看看就有错误拉
你弄清楚概念吧~~~
中间肯定不是或啊
----------------------------------------------
你说的很对，我就是对这产生疑惑，而书上就是这么写的，但根据定义判断，就是互相矛盾的，所以搞不懂了！！Top

4 楼feny911（春韭秋菘）回复于 2006-05-01 13:13:58 得分 20

没看出什么问题

1、假定x∈(A∩B)c。于是x￠A∩B。这表示x￠A或x￠B（我的疑惑一）。
//x￠A或x￠B：意思是说x要么不属于A，要么不属于B，还有可能都不属于。

2、也一样。
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5 楼bandao2002（梅赛德斯）回复于 2006-05-01 13:56:11 得分 0

to feny911(春韭秋菘):

根据题中我列出的定义来推理，我所指的疑惑处就存在矛盾！既然是交集，元素所归属的集合之间关系是“与”的关系，而疑惑处却是“或”的关系。Top

6 楼feny911（春韭秋菘）回复于 2006-05-01 14:21:52 得分 0

假定x∈(A∩B)c。于是x￠A∩B。//这一步没问题吧？

于是x￠A∩B。这表示x￠A或x￠B //问题在这里对不对？
/////////////////////
x￠A∩B 表示x不同时属于A和B。不同时属于A和B 表示要么不属于A，要么不属于B，或者都不属于。推出 x￠A或x￠B ，即 x￠A || x￠B 。

明白了吗？
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7 楼bandao2002（梅赛德斯）回复于 2006-05-01 18:54:23 得分 0

to feny911(春韭秋菘):

你解释的完全有道理，我先前的理解和你完全一样，不过，数学是门非常严谨的学科，不能凭主观臆断去推论命题的真假，要根据公理或者定义来判断。

------------------------------
假定x∈(A∩B)c。于是x￠A∩B。//这一步没问题吧？（对，是没错）

于是x￠A∩B。这表示x￠A或x￠B //问题在这里对不对？
（自己理解时觉得没错，但根据定义2，发现了矛盾）
------------------------------
定义2：
A∩B={x|x∈A∧x∈B}
两集合相交，元素x属于A 并且 x属于B

你所说的“不同时属于A和B 表示(=)要么不属于A，要么不属于B，或者都不属于”
我把这句话翻译成逻辑语言就是（不同时属于A和B = not A OR not B or not(A∪B)），符合定义1的表述，就是A与B是并集，显然不符合前述的x￠A∩B交集。
而根据定义2，元素x￠A∩B。这表示x￠A并且x￠B，翻译成逻辑语言就是(not A AND not B)，是表述A与B是交集。

所以，显然“于是x￠A∩B。这表示x￠A或x￠B”前后矛盾

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8 楼feny911（春韭秋菘）回复于 2006-05-01 20:06:07 得分 0

还好我也有这本书

看一下18页的表 1-12 逻辑等价，最下面两行的德摩根定律。
顺便说一下，即使没有德摩根定律，要证明（x￠A∩B 等价于 x￠A || x￠B）也是很简单的事情。数学虽然非常严谨，也不至于就不能动手玩一下。

能不能加点分啊？
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9 楼feny911（春韭秋菘）回复于 2006-05-01 20:07:37 得分 0

问下楼主，你的这些符号是怎么打出来的？
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10 楼bandao2002（梅赛德斯）回复于 2006-05-01 21:59:56 得分 0

谢谢你 feny911(春韭秋菘) ，一直关注着我的问题并提供了许多宝贵的指点。

我刚开始学离散数学，所以有时会钻牛角尖，呵呵～～

加分绝对没问题，你这么热心，一定重赏～～

feny911，还要请教你一下，离散挺抽象的，一下子掌握困难吗？是不是要反复做练习才能掌握？
和我一样，你也有这本书，我打算五一长假期间全部看完（现在才看到第一章函数），是不是白日做梦啊，呵呵！你看这本书用了多久？我是指基本概念掌握，证明运算自如那种。

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11 楼bandao2002（梅赛德斯）回复于 2006-05-01 22:05:37 得分 0

另外，feny911，用WORD可以很轻松把这些符号打出来，在“插入”菜单下的“符号”或“特殊符号”都能找到这些符号。

上述这些话，翻译成逻辑描述语言为：

令WORD特殊符号全集U,
集合A为“插入菜单－>符号”，
集合B为“插入菜单－>特殊符号”

U={x|x∈A∪B}

这样翻译对不对呀？呵呵～

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12 楼feny911（春韭秋菘）回复于 2006-05-02 02:06:27 得分 0

我也没看完书

U={x|x∈A∪B}
逻辑正确，能不能这样表示就不知道了。
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13 楼scjpsz1860（友情UP友情接分)(快乐升星！预祝明天更好！:）回复于 2006-05-02 09:18:02 得分 0

UP！接分！：）Top

14 楼Leomaxking（害怕孤独，但已习惯孤独）回复于 2006-05-02 10:20:33 得分 15

U={x|x∈A∪B}错了
U={x|x∈A∪Ac}或者U={x|x∈B∪Bc}Top

15 楼Leomaxking（害怕孤独，但已习惯孤独）回复于 2006-05-02 10:25:51 得分 0

x￠A∩B不能运用定义2啊，建议画图好好看一下Top

16 楼feny911（春韭秋菘）回复于 2006-05-02 11:00:29 得分 0

U={x|x∈A∪B}错了
U={x|x∈A∪Ac}或者U={x|x∈B∪Bc}
////////////////
正确，我没看清题目。BS自己一下。
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17 楼feny911（春韭秋菘）回复于 2006-05-02 11:22:52 得分 0

其实x￠A∩B正好运用定义2,用!代表否

(A∩B)c <=> x￠A∩B <=> x={x|!(x∈A∧x∈B)} <=> x={x| !(x∈A) ∨ !(x∈B)} <=> x={x| x￠A ∨ x￠B} <=> Ac∪Bc
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18 楼Leomaxking（害怕孤独，但已习惯孤独）回复于 2006-05-02 11:37:40 得分 0

我的意思是楼主不能直接用x￠A∩B中的￠来直接代替定义2中的∈这样子用Top

19 楼cuizhanjun1981（城市稻草人）回复于 2006-05-02 17:25:27 得分 0

路过，看不懂，感觉一群疯子Top

20 楼heroliu123（阿杰）回复于 2006-05-02 17:46:28 得分 0

证明推理说 x￠A∩B。这表示x￠A或x￠B，
这是对的,是这样证明的,因为x￠A 或 x￠B，是或者啊,又不是x￠A 和 x￠B，
所以书上面的是正确的.Top

21 楼glietboys（大大(beer)）回复于 2006-05-02 18:39:57 得分 10

楼主太过于注重这样的一个观点了:数学是门非常严谨的学科，不能凭主观臆断去推论命题的真假，要根据公理或者定义来判断。
首先,我要问,公理从那里来,公理也是从实际中来的,经过了人们不断的修改,留下了正确的,并用数学符号表示出来的,将人在公理中的主观性体现降到最低,但必须要理解,这样的主观性是很难完全去掉的.
在证明你的命题过程中,首先集合本身就是一个不定义的概念.'或'和'与'的转化本身就是一个自然语言的过程,至少这前面数学还没有定义这个转化.如果要硬生生的用数学语言证明这个问题,我认为,是不可能的.至于书为什么这样写了,我认为,是因为数学语言只能表达到这个程度了(当然,有些过程还可以细化一下).
上面是个人的一些观点,可能不太正确,都是自己以前对公理化思想的一些思考.Top

22 楼bandao2002（梅赛德斯）回复于 2006-05-03 12:57:51 得分 0

感谢大家对我的热心帮助！

经过一段时间的练习和实践，我相信有些问题会水到渠成，自然而然就不成为问题了！

特别感谢redhgg()，feny911(春韭秋菘)，Leomaxking(害怕孤独，但已习惯孤独)，glietboys(大大(beer))给我的热心指点！

你们的帮助，对像我这样自学的人来说非常重要，在共同的切磋和交流中，大家能共同提高和发展，也激励我去帮助其他需要帮助的人们。
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