无限期问题：关于如何找到多重完全数

yaos 2008-02-04 11:05:50

所谓的多重完全数的定义

整数N的所有素因子（包含N本身）的和如果是N的倍数则称为多重完全数
普通的完全数是2重的
存在10重的完全数

最小的是6 1+2+3+6=12 12/6=2 2重
120 1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120=360 360/120=3 3重
以 σ(N)表示N的所有因子和
则如果σ(N)/N=k 称N为k重完全数
设N = Π p(i)^r(i) i=1..n p(i)为素数, r(i)为指数
则σ(N) = Π (p(i)^(r(i) + 1) - 1) / (p(i) - 1)

现在的问题是如何发现这类数字
大家有什么好算法
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yaos 2008-02-07

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晕

你们热心的计算根号2和阶乘和斐波那契数列是有巨大意义的事情？

有意义的有呢
来一道，可不许不会

mathe 2008-02-07

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没傻意思，有必要化时间做这些没有意义的事情嘛:)

yaos 2008-02-07

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情绪化了
打住

算我胡说
对引起你反感的语言我在此道歉

就是想能引起某一人或者几个人的注意
引不起大家的兴趣

只好沉没了

我只是想得到结果而已
也是为了兴趣

mathe 2008-02-07

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首先更正，我没有什么热心去计算2的根号。
此外，这些事情当然都没什么意义，只是觉得有点意思而已。
这于这里，很抱歉我很难产生兴趣。有时候仅仅很多简单的因素就可以让人失去兴趣。
至于说用C/C++写程序分解大整数，可以找现成的代码（这种情况我们根本不需要理解算法的意义，这个我更加不感兴趣），也可以找一些有关资料看一下再依葫芦画瓢，这个也没有什么意义。
最后奉劝一句，不尊重别人很难获得别人的尊重。

yaos 2008-02-07

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使用C/C++写一个程序实现数域筛算法分解一个64位的整数
期限2年

你来？
哈哈

不用C/C++
用Python, SML/nj, Haskell, Clean等支持高精度整数的也可以
期限半年

yaos 2008-02-06

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那你给我找个k=7的
我看看你们方法的效果

2^9*3*11*31 是3的
2^8*3*7*47*73是4的

今天重新算的

mathe 2008-02-06

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本来就不是讨论同一个问题，何来得差太远，应该说这个题目比那个题目要简单一些，加了整数的约束，而且对于每个K,好像找到几个数你就满意了。
至于到K=10,是有点难度，简单估计一下，就知道需要计算到比较大的整数，手工自然很难找出来

mathe 2008-02-05

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这个题目同那个superabundant问题的确联系非常紧密，不过要求有点不同。
题目中显然是N的所有因子而不是素因子，这个应该是笔误。
superabudant问题里面没有要求σ(N)/N是整数。
这个题目更加像是一个指派问题。
不过这里看你要处理多大的N,还有要求如何（是穷举某个范围内的数还是随便找一些解，越大越好；是找到结果越大越好还是K越大越好等等）

yaos 2008-02-05

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好吧

我说说我的思路
（因为很难写公式，一半赖这个论坛，一半是自己表达能力弱）

首先对一些固定数字分析
如N=2^a*3^b*5^c*7^d类似的
则k' = σ(N)/N能迅速计算

此时，k'通常为一个分数，简化这个分数假设为p/q
此时继续增加N的素因子x^y，但保证和N的其他素因子互素，且x^y | p
得到p' / q' = p * σ(x^y) / (q * x^y)
则一般p' / q'的分子分母大小将减少

继续增加，直到q = 1则得到结果

如果在若干步骤后，无法得到结果
则需要抛弃若干步回溯到可能产生结果的位置，继续迭代

一个坏结果产生的现象是
N p / q中 P包含的小素因子太多，且和N的若干小素因子相同，一般这会产生大的k值，但超过预期的k是很难迭代到q = 1的