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gonxi 2008-07-22
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看看，这个应该可以做到
deng2000 2008-07-22
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也来无聊一下.楼主只用圆规的限制挺有意思.粗看起来,只用圆规能作的图要少于可同时使用直尺和圆规作的图.但早在18世纪意大利人Mascheroni就证明了一个颇让人震惊的事实: 只使用圆规,可以作出所有尺规作图法能作出的图(当然,只用圆规不能画直线,因此此定理的一个更准确的说法是: 所有用直尺和圆规能找到的点,都可以单独用圆规找到).
Mascheroni定理的证明比较繁琐,为免跑题不在此列出了.这里只解决楼主的题目: 只用圆规找到一个圆的圆心.为此,我们需要先实现两个基本工具: 延长直线和找反演点.
工具1(延长直线): 已知两个点A和B, 对任意自然数n>1,可以用圆规找到AB延长线上的点C,使得AC=n*BC
作法: 只需考虑n=2的情况, n>2的情况可反复利用n=2的作法解决.
用r表示AB长,作法如下:
1. 以B为圆心,r为半径画圆
2. 在此圆上,从A点开始,依次用圆规找到三个点P,Q,C,使得AP=PQ=QC=r
3. C点满足AC=2*BC,完毕.
证明: 只需注意三角形AOP, POQ, QOC都是正三角形.
工具2(找反演点). 设有一个以O为圆心,r为半径的圆,则对平面上异于O的任意一点P,P关于圆O的反演点Q是直线OP上的满足如下条件的点:
OP*OQ = r^2 (Q与P在O的同侧)
作法: 已知O,r,P,让我们用圆规找到P的反演点Q
1. 以P为圆心,OP为半径画圆,与圆O相交于R和S两点(注*)
2. 分别以R和S为半径,以r为半径画圆,交于Q点(另一个交点是O)
3 Q就是P的反演点
证明: 三角形OPR和ORQ都是等腰三角形,并且共一个底角POR,因此它们是相似三角形,有
OP/OR = OR/OQ, 亦即OP*OQ = OR^2 = r^2
*: 在第1步有一种情况需要考虑: 圆P与圆O不相交(P离O比较近的情况).此时可用工具1延长OP数倍,再找到新点的反演点,然后再把其延长相应的倍数即可.
有了这两个工具,就可以解决楼主的题目了.
问题: 平面上有一个圆O(注:圆心O未知),只用圆规找到其圆心O
作法: 1. 在圆弧上任找一点P
2. 以P为圆心,任意长为半径画一个圆,与圆O交于R和S两点
3. 分别以R和S为半径,以RP为半径画圆,交于Q点(另一个交点是P)
4. 利用工具2,找到Q点关于圆P的反演点O
5. O点就是所求的圆心
证明: 与工具2类似,注意三角形SPQ与三角形OSP相似
Mascheroni定理的证明比较繁琐,为免跑题不在此列出了.这里只解决楼主的题目: 只用圆规找到一个圆的圆心.为此,我们需要先实现两个基本工具: 延长直线和找反演点.
工具1(延长直线): 已知两个点A和B, 对任意自然数n>1,可以用圆规找到AB延长线上的点C,使得AC=n*BC
作法: 只需考虑n=2的情况, n>2的情况可反复利用n=2的作法解决.
用r表示AB长,作法如下:
1. 以B为圆心,r为半径画圆
2. 在此圆上,从A点开始,依次用圆规找到三个点P,Q,C,使得AP=PQ=QC=r
3. C点满足AC=2*BC,完毕.
证明: 只需注意三角形AOP, POQ, QOC都是正三角形.
工具2(找反演点). 设有一个以O为圆心,r为半径的圆,则对平面上异于O的任意一点P,P关于圆O的反演点Q是直线OP上的满足如下条件的点:
OP*OQ = r^2 (Q与P在O的同侧)
作法: 已知O,r,P,让我们用圆规找到P的反演点Q
1. 以P为圆心,OP为半径画圆,与圆O相交于R和S两点(注*)
2. 分别以R和S为半径,以r为半径画圆,交于Q点(另一个交点是O)
3 Q就是P的反演点
证明: 三角形OPR和ORQ都是等腰三角形,并且共一个底角POR,因此它们是相似三角形,有
OP/OR = OR/OQ, 亦即OP*OQ = OR^2 = r^2
*: 在第1步有一种情况需要考虑: 圆P与圆O不相交(P离O比较近的情况).此时可用工具1延长OP数倍,再找到新点的反演点,然后再把其延长相应的倍数即可.
有了这两个工具,就可以解决楼主的题目了.
问题: 平面上有一个圆O(注:圆心O未知),只用圆规找到其圆心O
作法: 1. 在圆弧上任找一点P
2. 以P为圆心,任意长为半径画一个圆,与圆O交于R和S两点
3. 分别以R和S为半径,以RP为半径画圆,交于Q点(另一个交点是P)
4. 利用工具2,找到Q点关于圆P的反演点O
5. O点就是所求的圆心
证明: 与工具2类似,注意三角形SPQ与三角形OSP相似
L___________________ 2008-07-21
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[Quote=引用楼主 zhaolinger2 的帖子:]
能不能只用一把圆规，找到一个圆的圆心？
如果可以，这个过程能不能编程实现？
[/Quote]
可以 随便选4个点 两条弦
做中垂线 相交的点 就是了
能不能只用一把圆规，找到一个圆的圆心？
如果可以，这个过程能不能编程实现？
[/Quote]
可以 随便选4个点 两条弦
做中垂线 相交的点 就是了
C1053710211 2008-07-21
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似乎这个题是很难的一个题，我记得原题是不能用直尺的，只能用圆规画（好像是9个圆），找到圆心，
可惜当时没看到答案
可惜当时没看到答案
arong1234 2008-07-21
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尺规作图是可以做到的，而且非常非常之容易，任意取两个直径，然后取直径的中垂线交点就是
如果你解析几何熟悉，重复尺规作图很容易得到编程的方法
如果你解析几何熟悉，重复尺规作图很容易得到编程的方法
大王派我去巡山 2008-07-21
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能不能只用一把圆规，找到一个圆的圆心？
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怎么也得给把尺子吧？
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怎么也得给把尺子吧？
