33,007
社区成员
发帖
与我相关
我的任务
分享求一个算法的解释(约瑟夫环)
大家好，我今天看到一个算法
问题的来源：
有n猴子报数,当他们报到M的时候退出队伍,然后接着报数,从1开始,问最后一猴子是谁!
有一个算法是这样的：
问题的来源：
有n猴子报数,当他们报到M的时候退出队伍,然后接着报数,从1开始,问最后一猴子是谁!
有一个算法是这样的：
class Monkey
{
public int King(int M, int N)//这个算法，不理解，请高手给个解释，谢谢！
{
//总人数 M ，数到第 N 个排除。
int k=0;
for (int i = 2; i <= M; i++)
k = (k + N) % i;
return ++k;
}
static void Main(string[] args)
{
Monkey M = new Monkey();
Console.WriteLine ("第"+M.King(4,3)+"号猴子为大王。");
Console.ReadLine();
}
}
...全文
请发表友善的回复…
发表回复
showcraft 2011-04-09
- 打赏
- 举报
http://topic.csdn.net/u/20100828/09/545be4f7-2bd5-47ae-989f-e3caff6f560d.html?seed=885567882&r=68009017
huli_fox1 2011-04-09
- 打赏
- 举报
【解决方法】
链表方法
略
非递归方法
http://baike.baidu.com/view/717633.htm
约瑟夫环问题的数学方法
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出
，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-3 --> n-3
k-2 --> n-2
序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n
序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n
序列3： k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1
序列4：1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：
∵ k=m%n;
∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n
∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n
得到 x‘=(x+m)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].
递推公式:
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：
#include <stdio.h>
int main()
{
int n, m, i, s = 0;
printf ("N M = ");
scanf("%d%d", &n, &m);
for (i = 2; i <= n; i++)
{
s = (s + m) % i;
}
printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
}
链表方法
略
非递归方法
http://baike.baidu.com/view/717633.htm
约瑟夫环问题的数学方法
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出
，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-3 --> n-3
k-2 --> n-2
序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n
序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n
序列3： k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1
序列4：1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：
∵ k=m%n;
∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n
∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n
得到 x‘=(x+m)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].
递推公式:
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：
#include <stdio.h>
int main()
{
int n, m, i, s = 0;
printf ("N M = ");
scanf("%d%d", &n, &m);
for (i = 2; i <= n; i++)
{
s = (s + m) % i;
}
printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
}
海涛 2011-04-06
- 打赏
- 举报
8楼 犀利啊
a13945149916 2010-07-14
- 打赏
- 举报
不算太难吧
huatuo20002008 2010-06-27
- 打赏
- 举报
8楼的解释，豁然开朗了。牛人好多啊！
raylayre 2010-03-13
- 打赏
- 举报
mark 学习一下
liuyangbisheng 2010-03-12
- 打赏
- 举报
第一个为什么一定是（m%n-1),编号不是从0~n-1么？那第一个出来的编号不应该是（m-1)%(n-1)呢？
tchshnxdjk 2009-12-19
- 打赏
- 举报
不错的帖子啊，好好研究
hehe300 2009-12-08
- 打赏
- 举报
不错的帖子啊，非常的值得学习
over300 2009-11-26
- 打赏
- 举报
good
pass299 2009-11-20
- 打赏
- 举报
不错的帖子啊
j8daxue 2009-07-13
- 打赏
- 举报
不错,其实就是写出递推公式后找规律,然后写成循环.不过不推公式的话,题目看起来很繁琐.
java1109 2009-07-05
- 打赏
- 举报
mark
bfhtian 2009-06-29
- 打赏
- 举报
这个算法不错，好不容易理解了
sunqiqiang 2009-06-09
- 打赏
- 举报
[Quote=引用 8 楼 liao05050075 的回复:]
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全…
[/Quote]
ls用的是Dynamic Programming(1->n), 如果用recursion(n->1)的方式：
int f(n)
{
if (n>1)
return ((f(n-1)+m))%n;
else
if (1==n)
return 0;
else
return -1;
}
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全…
[/Quote]
ls用的是Dynamic Programming(1->n), 如果用recursion(n->1)的方式：
int f(n)
{
if (n>1)
return ((f(n-1)+m))%n;
else
if (1==n)
return 0;
else
return -1;
}
陈清平 2009-06-07
- 打赏
- 举报
不懂，帮顶。。。
changming0517 2009-06-04
- 打赏
- 举报
好!!
banyuanhuan 2009-06-04
- 打赏
- 举报
因为最后肯定只剩下一个了，剩下的那个就是大王
zhaoweiting0609 2009-06-04
- 打赏
- 举报
[Quote=引用 38 楼 marsara 的回复:]
引用 25 楼 sbwwkmyd 的回复:
如果我们总是把开始数数的那个猴子的位置的位置当作起始位置,并假设x为胜出猴子的位置,如下:
第一轮淘汰中,起始位置要前进N位,相当于猴子的位置后退N位,那么胜出猴子的位置应该变为为x1=x-N;
同理,第二轮淘汰中,起始位置又要前进N位,相当于猴子的位置又后退N位,那么胜出猴子的位置应该变为为x2=x1-N;
...(注意每一轮的计算结果x?都应该取当轮总数的余数,这个应该好理解吧,因为超过猴子总数要…
[/Quote]
最后k=3意思是最后剩下的是第三号猴子
引用 25 楼 sbwwkmyd 的回复:
如果我们总是把开始数数的那个猴子的位置的位置当作起始位置,并假设x为胜出猴子的位置,如下:
第一轮淘汰中,起始位置要前进N位,相当于猴子的位置后退N位,那么胜出猴子的位置应该变为为x1=x-N;
同理,第二轮淘汰中,起始位置又要前进N位,相当于猴子的位置又后退N位,那么胜出猴子的位置应该变为为x2=x1-N;
...(注意每一轮的计算结果x?都应该取当轮总数的余数,这个应该好理解吧,因为超过猴子总数要…
[/Quote]
最后k=3意思是最后剩下的是第三号猴子
CodeProject-Jerry 2009-06-04
- 打赏
- 举报
这个问题大学的时候做过 那个时候就是建立一个环链表， 按照要求数，数到了 就踢出环
加载更多回复（57）
